考研数学，包括数学分析，高等代数，概率论，数理统计

数学分析

1.1函数

wiki-函数

1.1.1函数定义

一个非空数集$D_1$，另有一个数集$D_2$，$\forall x\in D_1,\exists y\in D_2$ 按照一定的对应法则$f$，使之对应

记作$y=f(x)$

其中对应关系是从$D_1$映射到$D_2$

$D_1$称作是定义域，$y$的所有取值所构成的集合$R$构成值域，$R\subset D_2$

1.1.2函数性质

1.1.2.1单调性

$f(x)$在区间$I$上有定义，且$\forall x_1,x_2\in I$，$x_1<x_2$恒有 $f(x_1)<f(x_2)$或$f(x_1)>f(x_2)$

则称$f(x)$在区间$I$单调递增或者单调递减

1.1.2.2奇偶性

函数定义域首先得根据原点对称，然后

若$\forall x$有

$f(x)=f(-x)$，则称之为偶函数

$f(x)=-f(-x)$，则称之为奇函数

1.1.2.3周期性

$f(x)=f(x+T)$​

1.1.2.4有界性

$f(x)$在区间$I$上有定义，若$\exists M$使得$|f(x)|<M$则称$f(x)$有界

1.1.3函数外延

1.1.3.1分段函数

无法用统一的式子表达

分段函数的格式

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{当 } x > 1 \\ \sin x, & \text{当 } 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{当 } x < 0 \end{cases}$$

1.1.3.2复合函数

$y=f(g(x))$

1.1.3.3隐函数

无法将变量分离开

$F(x,y)=0$

1.1.3.4参数方程函数

用另一个变量表示原有的变量

例如：

$$\begin{cases} x = \cos t, \\ y = \sin t. \end{cases} \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$$

1.1.3.4反函数

$y=f(x)$与$x=f^{-1}(y)$

这两个图像关于函数$y=x$对称

1.1.3.5幂指函数

$y=u(x)^{v(x)}$

常常利用恒等式

$u(x)^{v(x)}=e^{u(x)ln(v(x))}$

1.1.4初等函数

1.1.4.1指数函数

$f(x)=a^x$，$a>0且a\ne1$

1.1.4.2对数函数

$f(x)=log_a(x)$，$a>0且a\ne 1$

1.1.4.3幂函数

$f(x)=x^a$

1.1.4.4三角函数

后续增加

1.1.4.5反三角函数

后续增加

1.2 极限

极限-wiki

1.2.1 极限定义

1.2.1.1 数列极限

$\forall \varepsilon >0$，$\exists N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|< \varepsilon$成立，则记$\lim_{n \to \infty} a_n=a$​

其中$a$是数列$\left\{ a_n \right\}$的极限，称$\left\{ a_n \right\}$收敛于$a$

1.2.1.2 函数极限

1.2.1.2.1 自变量趋于 $\infty$

类比于数列极限

$\forall \varepsilon>0$，$\exists X$，使得当$|x|>X$时，有$|f(x)-a|<\varepsilon$成立，则记$\lim_{x \to \infty} f(x)=a$

当然根据自变量的取值的范围，可以细化为趋于 $-\infty$ 和 $+\infty$ 的。

1.2.1.2.2 自变量趋于特定值 $x_0$

稍微不一样

$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-a|< \varepsilon$成立，则记 $\lim_{x \to x_0} f(x)=a$

1.2.2 极限外延

1.2.2.1 左右极限

特指在自变量趋于特定值 $x_0$ 的左右两边

左极限：从 $x_0$ 左边趋近，记作 $x \to x_0^-$

右极限：从 $x_0$ 右边趋近，记作 $x\to x_0^+$

1.2.3 极限性质

之后在补

1.2.4极限计算

1.2.4.1四则运算

只要极限存在就可以“拆出来”

$\pm $: $lim[f(x)\pm g(x)]=limf(x)\pm limg(x)$

**$\times $**：$limf(x)g(x)=limf(x)\cdot limg(x)$

$\div $：$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)} $

1.2.4.2等价无穷小因子代换

在$x\to x_0$时，函数值$f(x)\to 0$，则称$f(x)是x\to x_0的无穷小量$

类似地，还有无穷大量

常见无穷小量：

$x\to 0$

$ 变量\sim \sin 变量 \sim\tan 变量 \sim\arcsin 变量 \sim \arctan 变量\sim ln(变量+1) \sim e^{变量} -1$

$(1+变量)^a\sim 1+a\cdot变量$​

$a^{变量}-1\sim 变量lna$

还有一些，但是我打算在泰勒公式后介绍

1.2.4.3泰勒公式

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1.2.4.4洛必达法则

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